Η διδακτική του μαθήματος της ημέρας
Η διδακτική του μαθήματος της ημέρας

του Ιωάννου Μυλωνάκου
Συνταξιούχου Λυκειάρχου


Η μαθηματική επιστήμη αποτελεί το κύριο όργανο προώθησης του ανθρώπινου πολιτισμού σε ανώτερες μορφές.
Για τη μαθηματική εκπαίδευση η οποία είναι το τρίπτυχο, Προγραμματισμός - Προσωπικό - Διδακτική, είναι δύσκολο να δώσει κανείς ένα πλήρη ορισμό. Πάντως, μαθηματική εκπαίδευση μπορεί να θεωρηθεί το σύνολο των δραστηριοτήτων με τις οποίες τα άτομα μιας κοινωνίας έρχονται σε επαφή με τη θεωρία και τις εφαρμογές της μαθηματικής επιστήμης.
Αποστολή της μαθηματικής εκπαίδευσης είναι να διαθέτει τα “προϊόντα της μαθηματικής επιστήμης στο ενδιαφερόμενο κοινό. Ο τρόπος διαθέσεως των γνώσεων αυτών, αποτελεί το κύριο έργο της μαθηματικής εκπαίδευσης. Από την επιτυχία του έργου αυτού εξαρτάται κατά μέγα μέρος η πρόοδος της μαθηματικής επιστήμης.

Ειδικότεροι σκοποί, που εξυπηρετούνται από την μαθηματική εκπαίδευση είναι:
α) Ωφελιμιστικός, διότι βοηθά τα άτομα στις ανάγκες της καθημερινής ζωής.
β) Επαγγελματικός, διότι τα μαθηματικά είναι η βάση των περισσότερων επιστημών.
γ) Μορφωτικός, κατά τον βιολόγο HOGBEN τα μαθηματικά αποτελούν “το κάτοπτρο του ανθρώπινου πολιτισμού”.
δ) Συντελεί στη τελειοποίηση των επιστημών.
ε) Συντελεί στη μαθηματικοποίηση της σκέψης κατά την επιστημονική ορολογία.
στ) Αναπτύσσει κοινωνική ενημερότητα και αντιλαμβάνονται οι άνθρωποι τα διάφορα κοινωνικά προβλήματα και τη σημασία τους στη καθημερινή ζωή. Π.χ. οικον. σχέσεις μεταξύ ατόμων, ατόμων και κράτους και άλλων οργανισμών.
ζ) Ανάπτυξη του αισθητικού τομέα όπως π.χ. η λύση ενός γραμμικού συστήματος αλγεβρικώς και γεωμετρικώς.
η) Συντελεί στη διεθνή συνεργασία και κατανόηση μεταξύ των λαών λόγω της ανάγκης ανταλλαγής απόψεων και συνεργασίας για την επίλυση δύσκολων προβλημάτων ή διεθνών συνεδρίων.
Η διδακτική του μαθήματος της ημέρας, που αποτελεί μέρος της Διδακτικής ενότητας εξυπηρετεί τους σκοπούς που συμπυκνωμένα προαναφέραμε και πρέπει να είναι μια οργανωμένη ενέργεια του διδάσκοντος προς την τάξη και να συμπεριλαμβάνει α) τη σχεδίαση του μαθήματος και β) την εκτέλεση αυτού.

Εκτός του ότι το μάθημα είναι μια οργανωμένη δραστηριότητα και πρέπει να εκτελείται βάσει σχεδίου, υπάρχουν και άλλοι λόγοι που συνηγορούν στη σχεδίαση του.
α) Το σχεδιασμένο μάθημα ανταποκρίνεται προς ένα σκοπό και μια διαδικασία εκτελέσεως του.
β) Δίνει αυτοπεποίθηση στον διδάσκοντα
γ) Εξασφαλίζει επιτυχία του μαθήματος.
δ) Διευκολύνει τον αξιολογούντα στη κρίση του.
ε) Συντελεί στην αυτοκριτική του διδάσκοντος.

Αξιόλογες αντιρρήσεις προς τα προαναφερόμενα είναι.
α) Η δέσμευση χρησίμων πρωτοβουλιών. Γι’ αυτό ο σχεδιασμός πρέπει να είναι ελαστικός.
β) Το μάθημα γίνεται στατικό: Διά της ελαστικότητας του σχεδίου, το μάθημα γίνεται δυναμικό: δηλ. εξασφαλίζεται η μεταφορά μαθήματος;
γ) Η επανάληψη σχεδίου: Γι΄ αυτό πρέπει να γίνεται και προσαρμογή του παλαιού σχεδίου προς τις νέες συνθήκες της τάξης.
Παράγοντες που επιδρούν στη σχεδίαση μαθήματος είναι:
α) Η διδακτική κατάσταση της τάξης.
β) Τα διαθέσιμα μέσα διδασκαλίας.
γ) Η μέθοδος π.χ. συνεργασία με την τάξη, τη μέθοδο της ομιλίας, κ.λ.π.
δ) Η προσωπικότητα του εκτελεστή. Η σχεδίαση ενός μαθήματος συνδέεται στενά με την εκτέλεση, την οποία έχει στο νού του ο εκτελεστής του μαθήματος όταν καταρτίζει το σχέδιο του. Άλλοι εκτελεστές προτιμούν τη μία και άλλοι την άλλη μέθοδο εκτελέσεως, ανάλογα με τις εκάστοτε συνθήκες της τάξης. Έτσι άλλοτε η εκτέλεση ακολουθεί εμπειρικές μεθόδους, άλλοτε αποδεικτικές ή της συνεργασίας με την τάξη κ.λ.π.
ε) Η φύση του μαθήματος. Μερικά μαθήματα απαιτούν εφαρμογές, άλλα θεωρητική ανάπτυξη κ.λ.π.
στ) Το χθεσινό και το αυριανό μάθημα, διότι το μάθημα της ημέρας αποτελεί μέρος των διδακτικών ενοτήτων μιας ευρύτερης ενότητας.
ζ) Ο διαθέσιμος χρόνος για το σχεδιασμό.

Η τυπική διαδικασία σχεδιασμού του μαθήματος είναι η εξής:
1. Δήλωση σκοπού. Αυτό αποτελεί το πρώτο βήμα για κάθε προγραμματισμό. Με βάση τον σκοπό θα οριστεί η υπόλοιπη σχεδίαση του μαθήματος. Παραδείγματα σκοπών είναι π.χ. α) κριτήρια ισότητας τριγώνων, β) σχέση συντελεστών και ριζών εξισώσεων β’ βαθμού κ.λ.π.
1.1. Κινητοποίηση ενδιαφέροντος: Ειδικότερα για την περίπτωση αυτή πρέπει να λάβουμε υπόψη τις εξής αρχές.
α) Ο χρόνος για την κινητοποίηση του ενδιαφέροντος να είναι μικρός, 2 ως 3 λεπτά.
β) Δεν πρέπει η διέγερση του ενδιαφέροντος να είναι υπερβολική, ώστε να δημιουργήσει έξαψη, ιδίως στα παιδιά μικρής ηλικίας.
γ) Η κινητοποίηση του ενδιαφέροντος πρέπει να αναφέρεται στο σκοπό του μαθήματος.
δ) Η κινητοποίηση του ενδιαφέροντος πρέπει να στηρίζεται στους εξής ψυχολογικούς νόμους.
δ1) Τον νόμο της φυσικής επέκτασης ή συμπλήρωσης. 
δ2) Τον Νόμο της φαινομενικής προσέγγισης του σκοπού διά της ανάλυσης σε υποσκοπούς, και
δ3) Τον Νόμο των ανταλλακτικών σκοπών, π.χ. στη γραφική λύση γραμμικού συστήματος η ανάθεση στους μαθητές της γραφικής παράστασης κάθε μίας των εξισώσεων, η εύρεση της τομής των κ.λ.π. ανταποκρίνονται στην αρχή των ανταλλακτικών σκοπών και αποτελούν ταυτόχρονα δυναμική αρχή διδακτικής λόγω δραστηριοποιήσεις των μαθητών διά της συμμετοχής των στην ανάπτυξη του μαθήματος αντί της παθητικής παρακολουθήσεως των.
2. - Ανάλυση σε υποσκοπούς: ο σκοπός καθορίζει βασικά την ακολουθητέα πορεία. Γι’ αυτό πρέπει να διαχωριστεί σε υποσκοπούς, οι οποίοι τελικά τοποθετούνται κατά διατεταγμένο τρόπο. Στη προκειμένη περίπτωση ο καθορισμός της πορείας επηρεάζεται από τα προηγούμενα μαθήματα.
3. - Συμπεράσματα: Η πραγματοποίηση του σκοπού οδηγεί στη διατύπωση ορισμένων συμπερασμάτων. Πρέπει να σημειωθεί ότι άλλος είναι ο σκοπός και άλλο το συμπέρασμα. Είναι δυνατόν ο σκοπός να ορίζει “Το θεώρημα των τριών καθέτων” αλλά λόγω κακού υπολογισμού να μη γίνει η απόδειξη και των τριών προτάσεων του θεωρήματος.
4. - Εφαρμογές: Η φάση αυτή του μαθήματος περιλαμβάνει ορισμένες διευκρινήσεις διερευνητικής φύσης ή παραδείγματα για την καλύτερη κατανόηση του. Αν το μάθημα είναι “αναπτυξιακό” δηλ. Στηρίζεται στην ψυχολογία GESTALT και αποτελεί ενότητα στο πλαίσιο της διδακτικής ευρυτέρων ενοτήτων, τότε η φάση αυτή των εφαρμογών μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τον τονισμό αρχών και πάνω απ’ όλα την προπαρασκευή για μελλοντικούς διδακτικούς σκοπούς.
5. - Ανακεφαλαίωση: Η ανακεφαλαίωση θα γίνει με την αυτών που γράφονται στον πίνακα ή με την βοήθεια ειδικών πινάκων ανακεφαλαίωσης.
6. - Κατ’ οίκον εργασίες: Με ειδική επιλογή ασκήσεων όχι υπερβολικής ...
7. - Έλεγχος μαθήσεως: Συνήθως ο έλεγχος μαθήσεως γίνεται με TEST διαφόρων μορφών κατά την κρίση του καθηγητή. Με τη χρήση του TEST δεν πετυχαίνουμε μόνο έλεγχο μαθήσεως διότι το TEST είναι και ένα μέσο διδασκαλίας που βοηθά στη στερέωση της μαθήσεως, πετυχαίνουμε δε συγχρόνως και εκτίμηση του αποτελέσματος της διδασκαλίας και
8. - Υλικό: Αναφέρονται Γεωμετρικά Όργανα, έγχρωμες κιμωλίες και ότι άλλο υλικό χρησιμοποιηθεί.
Ανακεφαλαιώνοντας ο σχεδιασμός του μαθήματος περιλαμβάνει τις εξής φάσεις: 1) Τη δήλωση του σκοπού1.1 την κινητοποίηση του ενδιαφέροντος 2) Την ανάλυση σε υποσκοπούς ή τον καθορισμό της πορείας 3) Τα συμπεράσματα 4) Τις εφαρμογές 5) Την ανακεφαλαίωση 6) Την κατ’ οίκον εργασία 7) Τον έλεγχο μαθήσεως και 8) Το υλικό που θα χρησιμοποιηθεί.
Η προπαρασκευή εκτελέσεως του μαθήματος, δηλαδή ένα βήμα μετά την σχεδίαση, περιλαμβάνει τις εξής δύο εργασίες 1) Την εξασφάλιση των οργάνων και την ρύθμιση αυτών για την εκτέλεση πειραμάτων, κατασκευής διαγραμμάτων κ.λ.π κατασκευή προκαταβολικά δύσκολων σχημάτων και ότι άλλο θεωρεί ο καθηγητής χρήσιμο για την εκτέλεση του μαθήματος. 2) Τη διέγερση του ενδιαφέροντος της τάξης με κατάλληλα κίνητρα που το σημείο αυτό το εξετάσαμε προηγουμένως.

Για την ολοκλήρωση της προπαρασκευής ενός μαθήματος είναι ανάγκη να εξετασθούν ορισμένες ακόμα περιπτώσεις που ενδιαφέρουν ως επί το πλείστον τις τελευταίες του φάσεις.
1) Προπαρασκευαστική εργασία στον πίνακα.
Ο εκτελεστής του μαθήματος πρέπει να έχει υπόψη του και την επιφάνεια του πίνακα που
έχει στην διάθεση του κατά την προπαρασκευή του μαθήματος. Καμιά φορά χρειάζεται να μείνουν μερικά πράγματα στον πίνακα για να βοηθήσουν την ανάπτυξη του μαθήματος. Χρειάζεται να είναι γραμμένα σε ορισμένες περιπτώσεις σε ένα μέρος του πίνακα το σχέδιο μαθήματος για να καθοδηγεί τον εκτελεστή και την τάξη στην πορεία προς τον αντικειμενικό σκοπό. Άλλοτε πρέπει να αναγράφονται και να παραμένουν για αρκετό χρόνο ορισμένοι βασικοί τύποι ή προτάσεις. Ακόμη όπως είπαμε και προηγούμενα πρέπει να σχεδιαστούν προκαταβολικά στον πίνακα ορισμένα διαγράμματα ή σχήματα με δύσκολη κατασκευή κ.λ.π.
2) Εξάσκηση και γενικεύσεις. Αυτή η περίπτωση προπαρασκευής ανήκει στις τελικές φάσεις των συμπερασμάτων και κυρίως των εφαρμογών και της κατ’ οίκον εργασίας.
Υποτίθεται ότι ο μαθητής έφτασε στη φάση αυτή αφού απόκτησε αντίληψη της κεντρικής ιδέας του μαθήματος. Πρέπει ακόμη να βοηθηθεί για την ολοκλήρωση της αποκτηθείσης γνώσεως ή δεξιότητας.

Τρείς είναι οι αρχές που υποβοηθούν κυρίως την μεγαλύτερη κατανόηση α) Η Διαφοροποίηση, β) Η Ολοκλήρωση και γ) Η Ακριβοποίηση.
Οι τρείς αυτές αρχές είναι αλληλένδετες και η μία συμπληρώνει την άλλη.
Η Διαφοροποίηση του μαθήματος αναφέρεται στη διερεύνηση αυτού με την εξέταση μερικών περιπτώσεων.
Ολοκλήρωση είναι η επέκταση ορισμένων συμπερασμάτων σε άλλα γενικότερα π.χ. η εξίσωση του κύκλου με κέντρο στην αρχή των αξόνων είναι x22=R2, βρίσκει την ολοκλήρωση της στη γενίκευση (χ - α)2 + (φ - β)2=R2
Η Ακριβοποίηση πάλι αναφέρεται και σε προσεγγιστικές εργασίες π.χ. να βρεθεί η τετραγωνική ρίζα κατά προσέγγιση 1/10,1/100, κλπ
Υπάρχουν πάρα πολλά παραδείγματα χρησιμοποιήσεως των παραπάνω αρχών στη διδασκαλία. Εξάλλου η εφαρμογή της δυναμικής αρχής του μαθήματος σαν μέρος ευρύτερης ενότητας δημιουργεί αναγκαστικά τις προϋποθέσεις διαφοροποιήσεως-ολοκληρώσεως - ακριβοποιήσεως.
Η εξάσκηση στην εφαρμογή εννοιών και αρχών σε άλλες καταστάσεις ή στην απόκτηση υπολογιστικών δεξιοτήτων δεν πρέπει να είναι μηχανική αλλά να στηρίζεται προηγουμένως στην κατανόηση των διαφόρων καταστάσεων
Κατά την εξάσκηση πρέπει α) Οι μαθητές να εργάζονται ανάλογα με τις ικανότητες τους. β) Να εφαρμόζεται η μέθοδος της περιοδικής και όχι συνεχούς εργασίας. γ) Να εξασφαλίζεται από κοντά εποπτεία στην εργασία που γίνεται για διόρθωση λαθών δ) Να βοηθούνται οι μαθητές να αυτοδιορθώνονται και ε) Οι μηχανικοί υπολογισμοί να γίνονται με αυξανόμενη ταχύτητα για απόκτηση αυτοματισμού γύρω από αυτούς για να τους χρησιμοποιήσουν στη πιο πέρα εργασία.
Αν το μάθημα γίνεται κατά συνεργασιακό τρόπο. Δηλαδή οι μαθητές βοηθούμενοι από τον καθηγητή εκτελούν τις διάφορες φάσεις του μαθήματος τότε η εξάσκηση αποτελεί φυσική συνέχεια της κάθε μίας προηγούμενης εργασίας.
3. - Κατ’ οίκον εργασία: Η εργασία αυτή έχει αξία μόνο όταν ο μαθητής έχει αποκτήσει αυτή την ικανότητα. Αν η εκτέλεση του μαθήματος δεν στηρίζεται στη συμμετοχή του μαθητή - είναι δηλαδή παθητική ή στατική - με τον καθηγητή περιοριζόμενο στην απευθείας διάλεξη και επεξεργασία από τον ίδιο των παραδειγμάτων είναι αμφίβολο εάν η μεγάλη πλειοψηφία των μαθητών μπορέσει να ανταποκριθεί με επιτυχία στην κατ’ οίκον εργασία. Ιδιαιτέρως οι αδύνατοι μαθητές θα καταφύγουν στην βοήθεια άλλων ατόμων οι οποίοι τις περισσότερες φορές παραδίδουν τις απαντήσεις χωρίς επεξηγήσεις.
Εκείνο που έχει σημασία είναι η επεξεργασία των θεμάτων της κατ’ οίκον εργασίας να γίνεται από τους μαθητές. Αυτό προϋποθέτει ότι οι μαθητές εξετέλεσαν παρόμοια εργασία και στο σχολείο.
Η κατ’ οίκον εργασία δίνει καλά αποτελέσματα όταν είναι στενά συνδεδεμένη και αποτελεί συνέχεια της εργασίας της τάξης.
Επίσης η κατ' οίκον εργασία πρέπει να μην ξεπερνά τα όρια δυνατοτήτων των μαθητών. Ακόμα πρέπει να περιέχει και στοιχεία ερευνητικής εργασίας για ορισμένη κατηγορία μαθητών, κυρίως των μεγάλων τάξεων με σημερινή εφαρμογή στις δέσμες. Μια πετυχημένη κατ’ οίκον εργασία απαιτεί την καλύτερη προπαρασκευή για το επόμενο μάθημα. Τύποι οι οποίοι κυρίως ακολουθούνται για την κατ’ οίκον εργασία είναι τρείς: α) ο επαναληπτικός, β) ο εθελοντικός, και γ) ο σπειροειδής.
Όλα αυτά με την απαραίτητη προϋπόθεση ότι το προσωπικό της Μαθηματικής εκπαίδευσης πρέπει να έχει α) Ισχυρή επιστημονική μόρφωση, β) Γενική εκπαιδευτική μόρφωση, ιδιαίτερα στη μαθηματική εκπαίδευση γ) Κοινωνική ενημερότητα, δ) ενδιαφέρον και ε) οι συνθήκες οι οποίες είναι κυρίως ο Διευθυντής του σχολείου σε συνδυασμό με την Προϊστάμενη αρχή, τα προβλήματα του προσωπικού και η εσωτερική μετεκπαίδευση δηλαδή αυτό ακριβώς που κάνουμε αυτή τη στιγμή.
Και έτσι με όλες αυτές τις προϋποθέσεις μετά το τέλος του μαθήματος ο καθηγητής κάνοντας την αυτοκριτική του θα μπορέσει να απαντήσει πιο εύκολα στα εξής γενικά ερωτήματα:
α) Αισθάνομαι ευχαριστημένος ή όχι;
β) Πέτυχα στο σκοπό μου;
γ) Κράτησα αμείωτο το ενδιαφέρον των μαθητών μου με ευχάριστες και έντονες δραστηριότητες;
δ) Έκανα τις εφαρμογές μου;
ε) Έδωσα καλά προπαρασκευασμένη την κατ’ οίκον εργασία;